chuong 4. dai so boole

Làm Được Điều Này, 1 Bước Lên 9 Tầng Cao Gặp Tiên Nhân Dạo Bước Tiêu Giao
Làm Được Điều Này, 1 Bước Lên 9 Tầng Cao Gặp Tiên Nhân Dạo Bước Tiêu Giao

NỘI DUNG CHÍNH
Đại số logic B
Đại số Boole
Hàm Boole
Công thức đa thức tối thiểu
Biểu đồ Karnaugh của hàm Boole
Phương pháp Quine – McCluskey
Các cổng logic
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 2

Đại số logic B
Trên tập logic B =0, 1 xét các phép
toán logic
(tích Boole) x y
(tổng Boole) x y
(phép bù) x
trong đó x, y B gọi là các biến logic
hoặc biến Boole.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 3

Các hằng đẳng thức logic
1) Giao hoán 6) Luỹ đẳng
2) Kết hợp 7) Phần tử trung hoà
3) Phân phối 8) Phần tử bù
4) Luật bù kép 9) Luật thống trị
5) De Morgan 10) Luật hấp thu
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 5

Một số phép toán 2 – ngôi
khác trên đại số logic B
1) Tổng modulo 2, x + y
2) Kéo theo x y
3) Tương đương x y
4) Vebb (NOR) x y
5) Sheffer (NAND) x y
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 6

Đại số Boole
Định nghĩa:
Cho tập A có ít nhất 2 phần tử, trong đó có 2
phần tử đặc biệt được ký hiệu là 0 và 1.
Trên A xét các phép toán 2 – ngôi và , và
phép toán 1 – ngôi /
Ký hiệu là (A, , , /, 0, 1)
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 8

Giao hoán
Kết hợp
Phân phối
Phần tử trung hoà
Phần tử bù
Tập A cùng với các phép toán này được gọi là một
đại số Boole nếu các phép toán này có tính chất:
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴:
𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎.
𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎.
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴:
𝑎 ∨ 𝑏 ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐).
(𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐).
1
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴:
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐).
𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐).Trong A tồn tại phần tử 0 và 1: ∀ 𝑎 ∈ 𝐴
𝑎 ∧ 1 = 1 ∧ 𝑎 = 𝑎.
𝑎 ∨ 0 = 0 ∨ 𝑎 = 𝑎.
∀ 𝑎 ∈ 𝐴 , tồn tại duy nhất phần tử bù 𝑎 sao cho:
𝑎 ∧ 𝑎 = 0.
𝑎 ∨ 𝑎 = 1.
2
3
4
5
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 9

Ví dụ:
Cho U là tập bất kỳ, trên A = P(U)
(tập các tập con của U) xét phép
là phép , phép là phép , phép
/ là phép lấy phần bù, phần tử 0 là
tập rỗng còn phần tử 1 là tập U.
Khi đó P(U) là một đại số Boole.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 10

Ví dụ:
Tích Descartes AB của các đại số Boole A,
B là một đại số Boole, trong đó:
(a1,b1) (a2,b2) = (a1 b1, a2 b2),
(a1,b1) (a2,b2) = (a1 b1, a2 b2),
(a, b)/ = (a/, b/),
(0,0) là phần tử 0 trong AB,
(1,1) là phần tử 1 trong AB.
Đặc biệt, Bn là một đại số Boole.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 11

Nếu không nói gì thêm, tất cả các tập được nói
đến trong chương này đều là tập hữu hạn.
Nhắc lại: Một tập hữu hạn sắp thứ tự luôn luôn
có phần tử tối tiểu/tối đại.
Trên một đại số Boole tổng quát chúng ta cũng có
các hằng đẳng thức giống như các hằng đẳng
thức đã xét trên đại số logic B.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 12

Hàm Boole
Định nghĩa:
Ánh xạ f: BnB gọi là một hàm Boole n
biến.
Hàm đồng nhất bằng 1 ký hiệu là 1, hàm
đồng nhất bằng 0 ký hiệu là 0. Tập tất cả
các hàm Boole n – biến ký hiệu là Fn.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 14

Cho f và g là hai hàm Boole n biến. Chúng ta
có các định nghĩa như sau:
1) (f g)(x1, …, xn) = f(x1, …, xn) g(x1, …, xn)
2) (f g)(x1, …, xn) = f(x1, …, xn) g(x1, …, xn)
3) f/ (x1, …, xn) = (f(x1, …, xn))/
với mọi x1, …, xn.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 15

Ta có Fn cùng các phép toán này
lập thành một đại số Boole.
Ngoài ra còn có:
f g f g = g f g = f
trong đó f g nếu
f(x1, …, xn) g(x1, …, xn).
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 16

Cách thông thường nhất để xác định một hàm
Boole là dùng bảng giá trị.
Hàm Boole 2 biến
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 17

Ví dụ:
1. Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị:
1 (tán thành) hoặc 0 (bác bỏ).
2. Kết quả f
là 1 (thông qua quyết định) nếu được đa số
phiếu tán thành.
là 0 (không thông qua quyết định) nếu đa
số phiếu bác bỏ.
Xét kết quả f trong việc thông qua một
quyết định dựa vào 3 phiếu bầu x, y, z
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 18

Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x,y,x có bảng
chân trị như sau:
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 19

Chúng ta cũng có thể xác định hàm Boole
bằng một biểu thức Boole. Đó là một biểu
thức gồm các biến Boole và các phép toán
(hội), (tuyển), / (phép lấy bù).
Mỗi biểu thức Boole cũng được xem như một
hàm Boole.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 20

Tích sơ cấp
Biến x gọi là biến Boole nếu x chỉ
nhận một trong hai giá trị 0/1.
Giả sử x là một biến Boole. Khi đó ký
hiệu x1 = x, x0 = x.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 21

Các phép toán trên hàm Boole:
• Phép cộng Boole ∨:
Với f, g ∈Fn, ta định nghĩa tổng Boole của f và g:
𝒇 ∨ 𝒈 = 𝒇 + 𝒈 − 𝒇𝒈
∀ 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥 𝑛 ∈ 𝐵 𝑛,
(f ∨ g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 22

• Phép nhân Boole ∧:
Với f,g ∈Fn, ta định nghĩa tích Boole của f và g:
𝒇 ∧ 𝒈 = 𝒇𝒈
∀ 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥 𝑛 ∈ 𝐵 𝑛,
(f ∧ g)(x) = f(x)g(x)
• Phép lấy phần bù:
𝒇 = 𝟏 − 𝒇
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 23

Bài Hay  Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)

Biểu thức Boole:
Là một biểu thức được tạo bởi các biến và các
phép toán Boole.
VD: E= (x ∧ y ∧ z) ∨ (z ∧ 𝑦)
Để dễ đọc hơn, người ta có thể viết:
E = xyz + z 𝑦
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 24

Dạng nối rời chính tắc của hàm Boole:
Xét tập hợp các hàm Boole n biến Fn theo n biến x1, x2, …,xn.
• Mỗi hàm Boole xi hay 𝑥i được gọi là một từ đơn.
• Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.
• Từ tối tiểu (đơn thức tối tiểu) là tích khác không của đúng
n từ đơn.
• Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Boole
thành tổng của các đơn thức.
• Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Boole
thành tổng của các từ tối tiểu.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 25

VD: Xét hàm boole, với 3 biến: x, y, z
x, y, z, 𝑥, 𝑦, 𝑧 là các từ đơn.
xy, yz là đơn thức
xy 𝑧 là từ tối tiểu
E= xy + yz là một công thức đa thức
Và F=xyz + 𝑥 𝑦 𝑧 là một dạng nối rời chính tắc
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 26

Cho 𝑓 ∈ F 𝑛, 𝑓 có thể viết dưới dạng sau:
(*)
Với 𝒖𝒊 là các đơn thức tối tiểu bậc 𝑛 (𝑖 = 1, … , 𝑛).
(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của 𝑓.
Ví dụ: Trong F4 có dạng biểu diễn sau đây:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥 𝑦 𝑧𝑡 ∨ 𝑥𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑥𝑦 𝑧 𝑡
⇒ 𝑓 có dạng nối rời chính tắc của hàm Bool.
𝒇 = 𝒖 𝟏 ∨ 𝒖 𝟐 ∨ 𝒖 𝟑∨…∨ 𝒖𝒊
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 27

Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc một hàm Bool:
Cách 1: Bổ sung từ đơn còn thiếu vào các đơn thức.
Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức.
Bước 2: Với mỗi đơn thức thu được ở bước 1, ta nhân đơn
thức đó với các tổng dạng với xi là những từ đơn bị thiếu
trong đơn thức đó.
Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại
bỏ những đơn thức bị trùng. Công thức đa thức thu được
chính là dạng nối rời chính tắc của hàm Bool ban đầu.
Vídụ: Trong 𝐅𝟑 tìm dạng nối rời chính tắc
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 ∨ 𝒚𝒛 ∨ 𝒙𝒚 𝒛
= 𝒙 𝒚 ∨ 𝒚 . 𝒛 ∨ 𝒛 ∨ 𝒙 ∨ 𝒙 𝒚𝒛 ∨ 𝒙𝒚 𝒛
= 𝒙𝒚𝒛 ∨ 𝒙𝒚 𝒛 ∨ 𝒙 𝒚𝒛 ∨ 𝒙 𝒚 𝒛 ∨ 𝒙 𝒚𝒛 ∨ 𝒙 𝒚𝒛 ∨ 𝒙𝒚 𝒛
𝒇 có dạng nối rời chính tắc của hàm Bool.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 28

Cách2: Dùng bảng chân trị. Để ý đến các vector boole
trong bảng chân trị mà tại đó 𝑓 = 1
Tại đó Vector bool thứ 𝑛 là 𝑢1, 𝑢2,…,𝑢 𝑛và 𝑓(𝑢1, 𝑢2,…,𝑢 𝑛) = 1
Ví dụ: Cho 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑦.
Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của 𝑓
Lập bảng chân trị của 𝑓
Các thể hiện làm cho 𝒇 = 𝟏 là 𝟎𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏
lập được các từ tối tiểu tương ứng.
Vậy dạng nối rời chính tắc của 𝑓 là 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 ∨ 𝑥 𝑦 ∨ 𝑥𝑦
x y 𝐱 ∨ 𝒚
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 29

Công thức đa thức tối tiểu:
1. Đơn giản hơn:
Cho hai công thức đa thức của một hàm Boole:
F = m1∨ m2∨ m3 ∨ …….. mk
G = M1∨ M2∨ M3 ∨ …….. Ml
Ta nói rằng công thức F đơn giản hơn công thức G
nếu tồn tại đơn ánh h:
1,2, … , 𝑘 → {1,2, … , 𝑙} sao cho với mọi 𝑖 ∈
{1,2, … , 𝑘} thì số từ đơn của 𝑚𝑖 không nhiều hơn số
từ đơn của 𝑀ℎ(𝑖)
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 30

2. Đơn giản như nhau
Nếu F đơn giản hơn G và G đơn giản hơn F thì ta nói
F và G đơn giản như nhau.
Ví dụ:
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 31

f ∈ F4 có 3 dạng đa thức
f(x,y,z,t): f1 = x 𝑦 𝑡 V 𝑥yz V x 𝑧 𝑡 V xyz (1)
: f2 = x 𝑦 𝑡 V 𝑥yz V xy 𝑧 V yzt (2)
: f3 = x 𝑦 𝑡 V 𝑥yzt V 𝑥yz 𝑡 V xy 𝑧 V yzt
(3)
(1) và (2) đơn giản như nhau

𝑝 = 𝑞 = 4
deg 𝑢𝑗 = deg 𝑣𝑗 = 3
(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)

𝑝 = 4 < 𝑞 = 5
deg 𝑢𝑗 ≤ deg 𝑣𝑗
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 32

3. Công thức đa thức tối tiểu:
Công thức F của hàm Boole f được gọi là
Công thức đa thức tối tiểu
nếu với bất kỳ công thức G của f mà đơn giản hơn F
thì F và G đơn giản như nhau.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 34

Bản đồ Karnaugh
• Sử dụng bảng Karnaugh là phương pháp xác định
công thức đa thức tối tiểu.
• Quy tắc gom nhóm:
– Gom các tiểu hạng mang biểu diễn là số 1.
– Khi gom 2 𝑛
Ô kế cận sẽ loại được n biến.
Những biến bị loại là những biến khi ta đi vòng qua các
ô kế cận mà giá trị của chúng thay đổi.
– Các vòng phải được gom sao cho số ô có thể
vào trong vòng là lớn nhất và để đạt được điều đó,
thường ta phải gom cả những ô đã gom vào trong các
vòng khác.
– Vòng gom phải là 1 hình chữ nhật.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 35

Karnaugh 2 biến
• Đối với hàm Boole 2 biến x, y :
• Bảng karnaugh 2 biến có 4 ô vuông, trong đó:
Ô được đánh số 1 để biểu diễn tiểu hạng có
mặt trong hàm.
Các ô được cho là liền nhau nếu các tiểu hạng
mà chúng biểu diễn chỉ khác nhau 1 biến.
y
x
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 36

Bài Hay  TOÁN RỜI RẠC BÀI TẬP ÔN TẬP GIỮA KỲ LOGIC Lập bảng chân trị cho các

Vd2: Tìm bảng Karnaugh cho: A = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦
A y 𝒚
x 1
𝒙 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 38

Gom nhóm:
Ví dụ: F = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦
F y 𝑦
x 1 1
𝑥
• Từ bảng Karnaugh Tổ hợp các tiểu hạng
mang biểu diễn là số 1.
• Các tổ hợp được gom phải là khối khả dĩ lớn
nhất và số ô là 2 𝑛 , với n = 1, 2.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 39

Ví dụ: B = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦
B y 𝑦
x 1
𝑥 1 1
B = 𝑦 + 𝑥
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 40

karnaugh 3 biến
• Bảng karnaugh 3 biến là 1 hình chữ nhật chia
thành 8 ô.
• Sau khi có bảng Karnaugh, ta bắt đầu gom nhóm
các tiểu hạng.
• Quy tắc tương tự Bảng Karnaugh 2 biến.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 41

𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝑦𝑧
𝑥 1 1
𝑥 1 1 1
𝑧 + 𝑥𝑦
VD: Dùng bảng Karnaugh 3 biến để rút gọn tổng
các tích sau
𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦 𝑧
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 42

Phủ tối tiểu của một tập
Việc tìm tất cả các tổng chuẩn tắc
không dư thừa của hàm Boole f, từ
các tsc tối đại của f, là một vấn đề
khá phức tạp.
Trước hết, chúng ta xét bài toán tìm
phủ tối tiểu của một tập như sau.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 45

Phủ của tập X
Cho S = X1, …, Xn là họ các tập con của
X. S gọi là phủ của X nếu X = Xi.
Phủ tối tiểu của X
Giả sử S là một phủ của X. S gọi là phủ tối
tiểu của X nếu với mọi i, SXi không phủ X.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 46

Ví dụ
X = a, b, c, d
A = a,b B = c,d
C = a,d D = b,c
A, B, C, D phủ không tối tiểu.
A, B, C, D là các phủ tối tiểu.
A, C, D phủ không tối tiểu.
B, D không phủ.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 47

Gồm 5 bước:
Bước 1: Vẽ biểu đồ karnaugh của f.
Bước 2: Xác định tất cả các tế bào lớn của
kar(f).
Bước 3: Xác định các tế bào lớn nhất thiết
phải chọn.
Ta nhất thiết phải chọn tế bào lớn T khi tồn tại
một ô của kar(f) mà ô này chỉ nằm trong tế
bào lớn T và không nằm trong bất kỳ tế bào
lớn nào khác.
Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 48

Bước 4: Xác định các phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn:
• Nếu các tế bào lớn chọn được ở bước 3 đã phủ
được kar(f) thì ta có duy nhất một phủ tối tiểu
gồm các tế bào lớn của kar(f).
• Nếu các tế bào lớn chọn được ở bước 3 chưa
phủ được kar(f) thì:
o Xét một ô chưa bị phủ, sẽ có ít nhất hai tế
bào lớn chứa ô này, ta chọn một trong các
tế bào lớn này. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ
tìm được tất cả các phủ gồm các tế bào lớn
của kar(f).
o Loại bỏ các phủ không tối tiểu, ta tìm được
tất cả các phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn
của kar(f).
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 49

Bước 5: Xác định các công thức đa thức tối tiểu
của f.
• Từ các phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn của
kar(f) tìm được ở bước 4 ta xác định được các
công thức đa thức tương ứng của f.
• Loại bỏ các công thức đa thức mà có một công
thức đa thức nào đó thực sự đơn giản hơn
chúng.
• Các công thức đa thức còn lại chính là các công
thức đa thức tối tiểu của f.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 50

Ví dụ 1
Tìm các công thức đa thức tối tiểu của hàm 𝑓:
𝑓 (x,y,z,t) = xyzt ∨ x 𝑦 ∨ x 𝑧 ∨ yz ∨ xy 𝑧 ∨ xy 𝑡
B1: Bảng Kar(𝑓)
𝑓 (x,y,z,t) = xyzt ∨ x 𝑦 ∨ x 𝑧 ∨ yz ∨ xy 𝑧 ∨ xy 𝑡
𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦
𝑧 𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1
𝑧 𝑡 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 51

𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦
𝑧 𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1
𝑧 𝑡 1 1
B3: Chọn tế bào lớn nhất thiết phải chọn:
(Vì chúng chứa các các ô không nằm trong
tế bào nào khác – minh hoạ với ô vàng)
+ chọn tế bào lớn thứ 1: x
+ chọn tế bào lớn thứ 2: yz
B2: Xác định tất cả các tế bào lớn của f.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 52

B4: Xác định họ phủ của các tế bào lớn:
Ta thấy các tế bào chọn ở bước 3 đã phủ hết bảng
đây là họ phủ tối thiểu gồm các tế bào
Kar(𝑓): x ∨ yz
B5: Ứng với họ phủ tối thiểu của tế bào lớn tìm
được ta được duy nhất 1 công thức đa thức tối tiểu
của f:
f = x ∨ yz
𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦
𝑧 𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧𝑡 1 1
𝑧 𝑡 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 53

Ví dụ 2
Tìm các công thức đa thức tối thiểu của hàm 𝑓:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑦 𝑧 𝑡 ∨ 𝑥𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑥z 𝑡
B1: Bảng Kar(𝑓)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑦 𝑧 𝑡 ∨ 𝑥𝑦𝑧𝑡 ∨ 𝑥z 𝑡
x 𝑦 𝑥𝑦 𝑥y 𝑥 𝑦
z 𝑡 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧t
𝑧 𝑡 1 1 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 54

B2: Xác định các tế bào lớn
+ Tế bào lớn thứ 1: 𝑥 𝑡
+ Tbào lớn thứ 2: 𝑥 𝑦z
+ Tế bào lớn thứ 3: 𝑦zt
+ Tế bào lớn thú 4: xzt
+ Tế bào lớn thứ 5: 𝑧 𝑡
x 𝑦 𝑥𝑦 𝑥y 𝑥 𝑦
z 𝑡 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧t
𝑧 𝑡 1 1 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 55

x 𝑦 𝑥𝑦 𝑥y 𝑥 𝑦
z 𝑡 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧t
𝑧 𝑡 1 1 1 1
B3: Xác định các tế bào lớn nhất thiết phải chọn
Có 3 ô chỉ nằm trong 1 tế bào lớn
Các tế bào lớn nhất thiết phải chọn là
𝑥 𝑡 + xzt + 𝑧 𝑡
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 56

Bài Hay  Chương 1_Logic mệnh đề

B4: Xác định họ phủ tối thiểu của các tế bào lớn:
Ta có họ phủ : 𝑧𝑡 ∨ 𝑥 𝑡 ∨ xzt
Ta thấy còn một ô chưa được phủ và ô đó nằm ở 1
trong 2 tế bào lớn.
Ta có 2 cách chọn:
• Cách chọn thứ 1: 𝑧𝑡 ∨ 𝑥 𝑡 ∨ xzt ∨
𝑥 𝑦z
• Cách chọn thứ 2: 𝑧𝑡 ∨ 𝑥 𝑡 ∨ xzt ∨ 𝑦zt
x 𝑦 𝑥𝑦 𝑥y 𝑥 𝑦
z 𝑡 1 1
𝑧𝑡 1 1 1
𝑧t
𝑧 𝑡 1 1 1 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 57

B5: Xác định công thức đa thức cực tiểu:
Ta thấy 2 công thức đơn giản như nhau cho nên
công thức đa thức tối thiểu của hàm 𝑓 là:
𝑧𝑡 ∨ 𝑥 𝑡 ∨ xzt ∨ 𝑥𝑦z
𝑧𝑡 ∨ 𝑥 𝑡 ∨ xzt ∨ 𝑦zt
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 58

Về cơ bản, phương pháp Quine-McCluskey
có hai phần. Phần đầu là tìm các số hạng là ứng
viên để đưa vào khai triển cực tiểu của hàm
Boole như dưới dạng chuẩn tắc tuyển. Phần thứ
hai là xác định xem trong số các ứng viên đó,
các số hạng nào là thực sự dùng được.
Phương pháp Quine-McCluskey
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 59

Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng
chuẩn tắc thu gọn:
Bước 1: Viết vào cột thứ nhất các biểu diễn của
các nguyên nhân hạng n của hàm Boole F. Các
biểu diễn được chia thành từng nhóm, các biểu
diễn trong mỗi nhóm có số các ký hiệu 1 bằng
nhau và các nhóm xếp theo thứ tự số các ký hiệu 1
tăng dần.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 60

Bước 2: Lần lượt thực hiện tất cả các phép dán
các biểu diễn trong nhóm i với các biểu diễn
trong nhóm i+1 (i=1, 2, …). Biểu diễn nào tham
gia ít nhất một phép dán sẽ được ghi nhận một
dấu * bên cạnh. Kết quả dán được ghi vào cột
tiếp theo.
Bước 3: Lặp lại Bước 2 cho cột kế tiếp cho đến
khi không thu thêm được cột nào mới. Khi đó
tất cả các biểu diễn không có dấu * sẽ cho ta tất
cả các nguyên nhân nguyên tố của F.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 61

Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng
tổng chuẩn tắc tối thiểu:
Bước 1: Phát hiện tất cả các nguyên nhân
nguyên tố cốt yếu.
Bước 2: Xoá tất cả các cột được phủ bởi
các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu.
Bước 3: Trong bảng còn lại, xoá nốt
những dòng không còn dấu + và sau đó nếu
có hai cột giống nhau thì xoá bớt một cột.
Bước 4: Sau các bước trên, tìm một hệ S
các nguyên nhân nguyên tố với số biến ít
nhất phủ các cột còn lại.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 63

wxyz
+ + + +
+ + + +
+ + + +
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 64

Các cổng logic
1. Các phép toán ở đại số boole
Phép cộng thể hiện qua hàm OR
Phép nhân thể hiện qua hàm AND
Phép phủ định thể hiện qua hàm NOT
Các phép tính trên khi áp dụng cho logic 0 và 1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 65

Các cổng cơ bản
Cổng AND
Cổng OR
Cổng NOT
Đầu ra = 1 khi có 1 ngõ
vào =1
Đầu ra chỉ =1 khi tất cả
ngõ vào =1
Bù của giá trị đầu vàoA 𝐴
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 66

Cổng NAND
Cổng NOR
Cổng XOR
Chỉ = 0 khi tất cả
ngõ vào =1
Chỉ = 1 khi tất cả
ngõ vào =0
2 ngõ khác nhau thì =1
Cổng X-NOR
2 ngõ giống nhau thì =1
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 67

Sự chuyển đổi giữa các cổng cơ bản sang cổng NAND
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 68

Sự chuyển đổi giữa các cổng cơ bản sang cổng NOR
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 69

VD: Viết lại biểu thức logic sau từ mạch logic:
Kết quả: Y = ( 𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) 𝐶
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 70

Các bước thiết kế logic tổng hợp:
Bước 1: Đặt các biến cho ngõ vào và các hàm
của ngõ ra tương ứng.
Bước 2: Thiết lập bảng chân trị cho ngõ ra và
ngõ vào
Bước 3: Viết biểu thức logic liên hệ giữa ngõ ra
và các ngõ vào.
Bước 4: Tìm công thức đa thức tối tiểu của biểu
thức logic vừa tìm được.
Bước 5: Từ biểu thức logic rút gọn chuyển sang
mạch logic tương ứng
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 71

Ví dụ:
Một ngôi nhà có 3 công tắc, người chủ nhà muốn
bóng đèn sáng khi cả 3 công tắc đều hở, hoặc khi
công tắc 1 và 2 đóng còn công tắc thứ 3 hở. Hãy
thiết kế mạch logic thực hiện sao cho số cổng là
ít nhất.
Giải:
Bước 1:
Gọi 3 công tắc lần lượt là A, B, C.
Bóng đèn là Y.
Trạng thái công tắc đóng là logic 1, hở là 0.
Trạng thái đèn sáng là logic 1 và tắt là 0.
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 72

Bước 2:
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng chân trị:
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 73

A B C
Y
Bước 3: Từ bảng chân trị ta có biểu thức logic ngõ ra
𝑌 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶
Bước 4: Rút gọn biểu thức logic: 𝑌 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶
Bước 5: Mạch logic tương ứng của biểu thức
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 74

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng cổng XOR cho bài toán như sau:
12/31/2015 Đại Số Boole Trang 75

Bạn đang xem bài viết: chuong 4. dai so boole. Thông tin do Elive chọn lọc và tổng hợp cùng với các chủ đề liên quan khác.

Leave a Comment