Chuyên đề hình học không gian Oxyz

HỌC CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN (NÉT ĐỨT – NÉT LIỀN )
HỌC CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN (NÉT ĐỨT – NÉT LIỀN )

Chuyên đề hình học không gian Oxyz

Chuyên đề hình học không gian Oxyz

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A}, y_{A}, z_{A})$, $B(x_{B}, y_{B}, z_{B})$, $C(x_{C}, y_{C}, z_{C}$, $D(x_{D}, y_{D}, z_{D})$ và $\overrightarrow{a}=(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \overrightarrow{b}=(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ thì

1. Phép cộng trừ vecto, tích vô hướng của hai vecto (giống như trong mặt phẳng Oxy).

  • $\overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b}=(a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3}).$
  • $k \overrightarrow{a}=(k.a_{1}, k.a_{2}, k. a_{3}).$
  • $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$.
  • $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$ $\Rightarrow \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A})$

2. Module của một vecto (độ dài vecto)

  • $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
  • $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$.

3. Tích có hướng của hai vecto là một vecto

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_{2} &a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{3} &a_{1} \\b_{3} &b_{1} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix})$

Chú ý:

  • $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{a}, [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{b}.$
  • $|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\sin (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) $.
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] = \overrightarrow{0}$.
  • $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]. \overrightarrow{c}=0$.
Bài Hay  Cách vẽ hình học không gian lớp 11 chuẩn nhất

Cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vecto

  • Bước 1: Nhấn mode 8, chọn 1.
  • Bước 2: Nhập $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ của vecto $\overrightarrow{a}$.
  • Bước 3: Nhấn Shift 5, nhấn chọn 1. Ta nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vecto $\overrightarrow{b}$.
  • Bước 4: Nhấn AC, nhấn shift 5, nhấn 3 để chọn vecto $\overrightarrow{a}$. Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vecto $\overrightarrow{b}$.

Ứng dụng

  • Tính diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
  • Tính diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
  • Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’: $V=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}]. \overrightarrow{AA’}|$.
  • Tính thể tích hình tứ diện ABCD: $V=\frac{1}{6} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}|$.
  • Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng $|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]=\overrightarrow{0}$.
  • Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng: $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}=0$

4. Tọa độ trung điểm, trọng tâm.

  • I là trung điểm của AB khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ y_{I}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2} \end{matrix}\right.$
  • G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} \end{matrix}\right.$
  • G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4} \end{matrix}\right.$
Bài Hay  Kinh nghiệm học giỏi hình học không gian lớp 11

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vecto $\overrightarrow{a}=(2,-5,3), \overrightarrow{b}=(0,2,-1), \overrightarrow{c}=(1,7,2)$. Tọa độ vecto $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ là

A. (0,-27,3).

B. (1,2,-7).

C. (0,27,3).

D. (0,27,-3).

Câu 2: Trong không gian với hệ Oxyz, cho bốn điểm A(1,1,1), B(2,3,4), C(6,5,2), D(5,3,-1). Diện tích tứ giác $ABCD$ là

A. $2 \sqrt{83}$.

B. $\sqrt{82}$.

C. $9 \sqrt{15}$.

D. $3 \sqrt{83}$.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2, -3, 4), B(1, y, -1), C(x, 4, 3). Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị $5x+y$ là

A. 41

B. 40

C. 42

D. 36

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ các điểm đó tới điểm M(-3,4,8) bằng 12. Tổng hoành độ của chúng là

A. -6

B. 5

C. 6

D. 11

Câu 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1,2,3), B đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Diện tích tam giác ABC là

Bài Hay  Hình học không gian - bạn còn nhớ ngày xưa vật lộn mãi mà không thể "thẩm thấu" nó không?

A. $6 \sqrt{5}$.

B. $3 \sqrt{2}$.

C. $4 \sqrt{3}$.

D. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2,-1,5), B(5, -5,7), C(11,-1,6), D(5,7,2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Bạn đang xem bài viết: Chuyên đề hình học không gian Oxyz. Thông tin do Elive chọn lọc và tổng hợp cùng với các chủ đề liên quan khác.

Leave a Comment